Zajmiemy się teraz charakteryzacją liczb wymiernych. Dosyć oczywiste jest, że każdy ułamek okresowy jest liczbą wymierną, ale na pierwszy rzut oka właściwie czemu na przykład liczba
nie miałby być wymierna? Jej rozwinięcie zachowuje się bardzo regularnie.
Okaże się, że nie jest i to niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym ją widzimy.
Wymierność różnych ułamków okresowych dowodzi się metodami szkolnymi najczęściej w następujący sposób. Dana jest liczba np. w związku z tym
a stąd po odjęciu stronami
, więc
. Metoda ta jest wygodna i będziemy chcieli ją zastosować w ogólnej sytuacji. Przyjrzyjmy się dlaczego można ją stosować.
Mając dowolną liczbę rzeczywistą możemy ją przedstawić jako sumę części całkowitej i ułamkowej, a każdą z tych części przedstawić w systemie liczbowym o podstawie
. Zatem
co będziemy po prostu oznaczali
Części ułamkowe są sumami pewnych zbieżnych szeregów, a dla zbieżnych szeregów oczywiście zachodzi
dla dowolnych .
Jeszcze uwaga odnośnie przesuwania przecinka.
Mając liczbę
zgodnie z działaniami na szeregach mamy
a zatem
dla (pamiętając, że „po lewej” mamy do dyspozycji nieskończenie wiele zer).
Twierdzenie 1.
Jeśli jest ułamkiem okresowym, to
.
Dowód.
Korzystając z powyższych uwag i oznaczeń wykażemy, że dowolny ułamek okresowy jest liczbą wymierną. Oczywiście każdy ułamek skończony jest liczbą wymierną, gdyż jest skończoną sumą liczb wymiernych.
Dana niech będzie liczba postaci (w systemie o dowolnej podstawie )
Wtedy
Przekształcenia te spowodowały, że w obu powyższych liczbach po przecinku mamy od razu okres.
Wystarczy więc zauważyć, że odejmując stronami wyrugują się okresy
a dalej, że
Stąd jest liczbą wymierną.
Zajmiemy się teraz częścią bardziej problematyczną. Będziemy chcieli wykazać, że dowolna liczba wymierna jest ułamkiem okresowym. O jedynce wiemy już, że
, zatem odkładamy ją na bok i będziemy mogli stosować algorytm dzielenia pisemnego. Dzięki jego własnościom otrzymamy okresowość liczb wymiernych.
Lemat.
Dana niech będzie liczba oraz ciąg
wynikający z algorytmu dzielenia pisemnego. Weźmy dowolne
naturalne i oznaczmy przez
ciąg reszt wynikający z dzielenia pisemnego
przez
.
Wtedy
dla
.
Dowód.
Indukcyjnie. Dla n=0 z definicji . Teraz jeśli
to mamy też, że
Z definicji po podzieleniu z resztą przez otrzymamy
Więc z jednoznaczności reszt
.
Ponieważ definicja ułamka okresowego była w poprzednim wpisie, przypomnimy teraz jej najważniejszą część (zamieniając równoważnie indeksy).
Definicja.
Gdy mamy pewną liczbę rozwiniętą w ciąg cyfr (w systemie o podstawie
)
nazwiemy ją ułamkiem okresowym, gdy istnieją takie liczby naturalne ,
, że
dla każdego naturalnego.
Twierdzenie 2.
Dowolne dzielenie pisemne od pewnego momentu się zapętla. Uściślijmy: to znaczy gdy dane są ciągi reszt
oraz cyfr
, to istnieją takie
, przy czym
, że
dla dowolnego
.
Dowód.
Zastosujmy dzielenie pisemne liczby przez
. Otrzymujemy ciągi reszt
oraz cyfr
. Oczywiście ciąg reszt ma skończony zbiór wartości, więc istnieją takie
, że
. Naszym kandydatem na
będzie
a w rolę
wcieli się
.
Aby dowieść części pierwszej poprowadzimy indukcję ze względu na .
Dla k=0 jest oczywiste. Sprawdźmy jeszcze dla k=1. Nie jest to konieczne, ale pozwoli lepiej wczuć się w ideę rozumowania. Mamy ilorazy oraz
i wyznaczamy dla nich odpowiednio ciągi reszt
i
wynikające z zastosowania dzielenia pisemnego. Na podstawie Lematu mamy
Ale liczby są identyczne, więc
. Stąd otrzymujemy, że
dla dowolnego
.
Mamy zatem w szczególności dla n=0
, gdyż
dla n=1
i dla n=T-1
Pokazaliśmy dokładnie, że
.
Mam nadzieję też, że widać, że moglibyśmy powtórzyć rozumowanie, aby uzyskać, że kolejna „partia” reszt też jest ciągiem i żeby wykazać, że każda kolejna też będzie, konieczna jest indukcja.
Przechodzimy zatem do kolejnego kroku indukcyjnego i zakładamy, że
.
Zastosujemy dokładnie takie samo rozumowanie jak w kroku k=1, ale przy bardziej zawiłych indeksach.
Oznaczmy podobnie jak wcześniej przez ,
ciągi reszt wynikłe z dzielenia pisemnego odpowiednio
i
, gdzie
, a
.
Na podstawie Lematu
dla dowolnego naturalnego.
Ponieważ z założenia mamy równość , więc
.
W szczególności równość zachodzi dla n=1
Podstawiając i upraszczając, dla n=1 równość przyjmuje postać
Kontynuując dla n=2 mamy
Wreszcie dla n=T
Dostaliśmy zatem, że
.
Ale wiedząc z kroku k=1, że
.
Otrzymujemy
co należało pokazać.
Natychmiast też dostajemy, że skoro
.
to dla cyfr stosując definicję mamy
.
Uwzględniając jeszcze, że czyli, że
, możemy stwierdzić, że
jest ułamkiem okresowym.
Wniosek. (Charakteryzacja liczb rzeczywistych przez ułamki okresowe).
Dowolna liczba rzeczywista jest ułamkiem okresowym wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą wymierną.
Charakteryzacja liczb rzeczywistych polega więc na tym, że część ułamkowa dowolnej liczby rzeczywistej jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną.
Na podstawie tego rezultatu możemy znaleźć mnóstwo przykładów liczb niewymiernych o ładnie, ale nieokresowo zachowujących się rozwinięciach. Np. wspomniana wcześniej liczba
(przy dowolnej podstawie)
również przy dowolnej podstawie
która skądinąd jest znana jako stała Liouville’a dla ,
oraz w systemie przynajmniej dziesiątkowym
Teraz będzie jeszcze zapowiadana uwaga odnośnie dzielenia. Zauważmy, że jeśli podczas dzielenia pisemnego otrzymamy wynikające z Twierdzenia 2, to wiemy, że po pewnej skończonej liczbie kroków
cała sekwencja reszt będzie się powtarzała w nieskończoność. Dzięki temu dowiedliśmy, że cyfry
wyznaczają nam okres. W związku z tym, jeśli tylko podczas dzielenia pisemnego dana reszta nam się powtórzy, to możemy przerwać algorytm, a cyfry uzyskane pomiędzy tymi powtarzającymi się resztami będą okresem (pamiętając, że dana cyfra zależy od poprzedniej reszty). Jest to istotny fakt z punktu widzenia precyzji programów liczących, gdyż możemy uzyskać dzielenie liczb całkowitych z pełną precyzją w skończonej liczbie kroków. Jednak zwróćmy uwagę, że sekwencja cyfr nie zawsze będzie się powtarzała od najwcześniejszej cyfry powtarzającej się, gdyż np. w liczbie
powtarza nam się jedynka, ale jeszcze nie wyznacza ona okresu, a nawet w okresie nie ma jedynki.
W związku z powyższym uczniowie w szkołach i ja w podanych przykładach w części I całkiem słusznie przerywałem algorytm. Mamy więc optymistyczny akcent na koniec, że samodzielnie wykonane rachunki dają większą pewność, bo absolutną, niż choćby sto wyświetlonych cyfr po przecinku na kalkulatorze. Nigdy przecież nie wiadomo czy po stu trójkach po przecinku nie pojawi się dajmy na to czwórka. Choć, że zachodzi możemy sprawdzić wykonując metodą z dowodu Twierdzenia 1.
Pingback: Dodawanie pisemne. Ułamki okresowe. | roznematematyka