Baldur’s Gate II – zagadka matematyczna

Podczas gry w Baldur’s Gate II można natrafić na następujące zadanie tekstowe:

Księżniczka ma tyle lat, ile będzie miał książę kiedy ona będzie miała dwa razy więcej lat niż on, w chwili, gdy jej wiek był połową sumy ich aktualnego wieku.

Zatem które z poniższych jest prawdą:

  1. Książę ma 20 lat, a księżniczka 30.
  2. Książę ma 40 lat, a księżniczka 30.
  3. Książę ma 30 lat, a księżniczka 40.
  4. Książę ma 30 lat, a księżniczka 20.
  5. Oboje mają tyle samo lat.
  6. Nie mam zielonego pojęcia.

W pierwszym momencie prawdą dla większości jest odpowiedź szósta, postaramy się jednak wybrać te zdania z powyższych, które pozostaną prawdziwe niezależnie od okoliczności. Muszę przyznać, że prawidłowe zrozumienie zagadki przyszło mi dopiero na wieczór, chociaż pierwszy raz zacząłem się nad nią zastanawiać coś po południu. Jednak w tym cała rzecz, aby treść była zagmatwana. Przedstawię teraz mój model tego problemu.

Zacznijmy od podstawowego stwierdzenia, że różnica wieku między księciem i księżniczką jest stała w każdym momencie ich życia. Następujące ciągi \{a_n\}_{n=0}^\infty oraz \{b_n\}_{n=0}^\infty będą obrazowały wiek odpowiednio księżniczki i księcia w momencie n, przy czym czas liczymy od urodzenia księcia. Krótko pisząc, przyjmujemy

a_n:=n+R

b_n:=n

gdzie R jest różnicą wieku. Przy takim opisie w momencie 0 książę ma 0 lat – jest świeżo urodzony, natomiast księżniczka, jeśli jest starsza lub równa wiekiem ma już wtedy R lat, a gdy jest młodsza to urodzi się dopiero za -R lat (ma wiek ujemny). Przyjmijmy jeszcze, że moment T to teraźniejszość, czyli docelowo interesują nas a_Tb_T. Mamy już model, więc możemy przejść do przetłumaczenia treści zadania na ten model.

Zagadka zaczyna się od informacji

Księżniczka ma tyle lat, ile będzie miał książę kiedy… czyli księżniczka ma teraz tyle lat, ile książę w pewnym momencie k, co zapisujemy

a_T=b_k

i czytamy dalej:

Księżniczka ma tyle lat, ile będzie miał książę kiedy ona będzie miała dwa razy więcej lat niż on, w chwili

Zatem moment k jest taki, że księżniczka ma wtedy dwa razy więcej lat niż on w pewnym momencie j

a_k=2b_j

przy czym moment j jest taki, że jej wiek był połową sumy ich aktualnego wieku, to jest

\displaystyle a_j=\frac{a_T+b_T}{2}.

Możemy teraz przystąpić do szukania zależności między a_Tb_T. Poza naszymi danymi będziemy korzystać z faktu, że w każdym momencie a_n-R=b_n.

Mamy

a_T=b_k=a_k-R

oraz

a_k=2b_j=2(a_j-R)

Zatem podstawiając drugą równość do pierwszej dostajemy

a_T=2(a_j-R)-R=2a_j-3R.

Podstawiając teraz do powyższej wartość a_j z równości

\displaystyle a_j=\frac{a_T+b_T}{2},

dostajemy

a_T=a_T+b_T-3R

a stąd książę ma teraz b_T=3R lat a księżniczka a_T=4R.

Oznacza to, że T=3R oraz  R\geq0 (wiek księcia jest nieujemny). Dodatkowo zauważmy, że z

\displaystyle a_j=\frac{a_T+b_T}{2}=\frac{T+R+T}{2}=T+\frac{R}{2}

wynika jedynie, że R musi być parzyste. Natomiast równość

a_k=2b_j

nie nakłada żadnych ograniczeń na R, gdyż

b_k=a_T=4R,

a stąd a_k=5R. Mamy też:

a_j=T+\frac{R}{2}=3R+\frac{R}{2}

a stąd

b_j=2R+\frac{R}{2}.

Zatem podstawiając mamy

5R=a_k=2b_j=2(2R+\frac{R}{2})=5R

zawsze spełnione.

Podsumowując powyższe rozważania, teraźniejszość to moment 3R i wtedy książę ma 3R lat a księżniczka 4R, przy czym R jest parzystą liczbą naturalną. Wynika stąd, że dobrą odpowiedzą jest ta, mówiąca, że książę ma 30 lat a księżniczka 40. Tylko jak na mój rozum, poprawną odpowiedzą jest też, że oboje mają tyle samo (zero) lat, tzn. że dopiero co się urodzili i nie ukończyli jeszcze pierwszego roku.

Advertisements

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s